Question

17．已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，且球心O在線段PC上，PA⊥平面ABCD，E為AB的中點(diǎn)，∠BCD=90°
（1）求證：OE∥平面PAD
（2）若PA=AB=4，AD=3，求三棱錐O-ADE的體積．

Answer 1

分析 （1）取BD的中點(diǎn)O′，連結(jié)OO′，O′E．證明平面O′OE∥平面PAD，從而得出OE∥平面PAD；
（2）由球的性質(zhì)可得AB⊥AD，OO′⊥平面ABCD，OO′=$\frac{1}{2}PA$=2．代入棱錐的體積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）取BD的中點(diǎn)O′，連結(jié)OO′，O′E．
∵∠BCD=90°，∴O′是截面ABCD所在圓的圓心，
∴OO′⊥平面ABCD．∵PA⊥平面ABCD，
∴OO′∥PA，∵OO′?平面PAD，PA?平面PAD，
∴OO′∥平面PAD．
∵O′是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，
∴O′E∥AD，∵O′E?平面PAD，AD?平面PAD，
∴O′E∥平面PAD，∵O′E?平面O′OE，OO′?平面O′OE，O′E∩OO′=O′，
∴平面O′OE∥平面PAD，∵OE?平面O′OE，
∴OE∥平面PAD．
（2）∵OA=OP，PA⊥平面ABCD，O′O⊥平面ABCD，∴OO′=$\frac{1}{2}PA$=2．
∵BD是⊙O′的直徑，∴AB⊥AD，又∵AE=$\frac{1}{2}AB$=2，
∴V_棱錐O-ADE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$AD×AE×OO′=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2×2$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐與球的結(jié)構(gòu)特征，空間幾何體的體積計(jì)算，屬于中檔題．