2.如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知點A為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{2{y}^{2}}{9}$=1的右頂點,點D(1,0),點P,B在橢圓上,且在x軸上方,$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$.
(1)求直線BD的方程;
(2)已知拋物線C:x2=2py(p>0)過點P,點Q是拋物線C上的動點,設點Q到點A的距離為d1,點Q到拋物線C的準線的距離為d2,求d1+d2的最小值.
(3)求直線BD被過P,A,B三點的圓C截得的弦長;
(4)是否存在分別以PB,PA為弦的兩個相外切的等圓?若存在,求出這兩個圓的方程;若不存在,請說明理由.

分析 (1)根據(jù)點P,B在橢圓上,$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$,可得點B的坐標,利用兩點式,我們可以求直線BD的方程;
(2)d1+d2=|QF|-1+|QA|≥|AF|-1;
(3)確定過P,A,B三點的圓C的圓心與半徑,求出圓心到直線BD的距離,由此,我們可以得到直線BD被過P,A,B三點的圓C截得的弦長;
(4)假設存在這樣的兩個圓M與圓N,其中PB是圓M的弦,PA是圓N的弦,則點M一定在y軸上,點N一定在線段PC的垂直平分線y=x-1上,當圓M和圓N是兩個相外切的等圓時,一定有P,M,N在一條直線上,且|PM|=|PN|,從而就可以得出結(jié)論

解答 解:(1)因為$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$,且A(3,0),所以|BP|=|DA|=2,
因為$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{DA}$,及BP與x軸平行,即可得B,P關(guān)于y軸對稱,
所以點P的橫坐標為1,從而得P(1,2),B(-1,2)…(3分)
所以直線BD的方程為x+y-1=0…(5分)
(2)由拋物線x2=$\frac{1}{2}$y,可得焦點F(0,$\frac{1}{8}$).A(3,0)
則|AF|=$\sqrt{9+\frac{1}{64}}$=$\frac{\sqrt{577}}{8}$.
∴d1+d2=|QF|-1+|QA|≥|AF|-1.
∴d1+d2的最小值=$\frac{\sqrt{577}}{8}$-1;(7分)
(3)線段BP的垂直平分線方程為x=0,線段AP的垂直平分線方程為y=x-1,
所以圓C的圓心為(0,-1),且圓C的半徑為$\sqrt{10}$…(8分)
又圓心(0,-1)到直線BD的距離為$\sqrt{2}$,
所以直線BD被圓C截得的弦長為2$\sqrt{10-2}$=4$\sqrt{2}$…(10分)
(4)假設存在這樣的兩個圓M與圓N,其中PB是圓M的弦,PA是圓N的弦,
則點M一定在y軸上,點N一定在線段PA的垂直平分線y=x-1上,
當圓M和圓N是兩個相外切的等圓時,一定有P,M,N在一條直線上,且|PM|=|PN|…(12分)
設M(0,b),則N(2,4-b),根據(jù)N(2,4-b)在直線y=x-1上,
∴4-b=2-1,∴b=3…(14分)
∴M(0,3),N(2,1),|PM|=|PN|=$\sqrt{2}$,
故存在這樣的兩個圓,且方程分別為x2+(y-3)2=2,(x-2)2+(y-1)2=2…(16分)

點評 求直線方程的關(guān)鍵是求出點的坐標,求圓中的弦長要充分利用圓的性質(zhì),對于探究性問題,總是假設存在,再確定是否存在.

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