8.已知x∈(1,5),則函數(shù)y=$\frac{2}{x-1}$+$\frac{1}{5-x}$的最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$.

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可.

解答 解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=-$\frac{2}{(x-1)^{2}}$+$\frac{1}{(x-5)^{2}}$=$\frac{2(x-5)^{2}-(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}(x-5)^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-18x+49}{(x-1)^{2}(x-5)^{2}}$,
由f′(x)=0得x2-18x+49=0得x=$\frac{18±\sqrt{1{8}^{2}-4×49}}{2}$=$\frac{18±8\sqrt{2}}{2}$=9±4$\sqrt{2}$,
∵x∈(1,5),
∴x=9-4$\sqrt{2}$,
當1<x<9-4$\sqrt{2}$時,f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,
當9-4$\sqrt{2}$<x<5時,f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,
故當x=9-4$\sqrt{2}$時,函數(shù)f(x)取得極小值,同時也是最小值,此時f(9-4$\sqrt{2}$)=$\frac{2}{9-4\sqrt{2}-1}$+$\frac{1}{5-9+4\sqrt{2}}$
=$\frac{2}{8-4\sqrt{2}}$+$\frac{1}{4\sqrt{2}-4}$=$\frac{1}{4-2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{4\sqrt{2}-4}$=$\frac{4+2\sqrt{2}}{16-8}$+$\frac{4\sqrt{2}+4}{32-16}$=$\frac{4+2\sqrt{2}}{8}$+$\frac{4\sqrt{2}+4}{16}$
=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$+$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$,
故答案為:$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運算和推理能力.

練習(xí)冊系列答案
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