Question

8．已知x∈（1，5），則函數(shù)y=$\frac{2}{x-1}$+$\frac{1}{5-x}$的最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-$\frac{2}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{（x-5）^{2}}$=$\frac{2（x-5）^{2}-（x-1）^{2}}{（x-1）^{2}（x-5）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-18x+49}{（x-1）^{2}（x-5）^{2}}$，
由f′（x）=0得x²-18x+49=0得x=$\frac{18±\sqrt{1{8}^{2}-4×49}}{2}$=$\frac{18±8\sqrt{2}}{2}$=9±4$\sqrt{2}$，
∵x∈（1，5），
∴x=9-4$\sqrt{2}$，
當1＜x＜9-4$\sqrt{2}$時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當9-4$\sqrt{2}$＜x＜5時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
故當x=9-4$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）取得極小值，同時也是最小值，此時f（9-4$\sqrt{2}$）=$\frac{2}{9-4\sqrt{2}-1}$+$\frac{1}{5-9+4\sqrt{2}}$
=$\frac{2}{8-4\sqrt{2}}$+$\frac{1}{4\sqrt{2}-4}$=$\frac{1}{4-2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{4\sqrt{2}-4}$=$\frac{4+2\sqrt{2}}{16-8}$+$\frac{4\sqrt{2}+4}{32-16}$=$\frac{4+2\sqrt{2}}{8}$+$\frac{4\sqrt{2}+4}{16}$
=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$+$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，
故答案為：$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力．