Question

12．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n（n∈N^*）．
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄的值，并由此猜想出{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法或其他證明方法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n，代入計(jì)算，可得a₂，a₃，a₄的值，并由此猜想出{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（2）由a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用疊乘法證明猜想．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n，
∴a₂=2，a₃=3，a₄=4，
猜想a_n=n；
（2）∵a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1•$\frac{2}{1}•\frac{3}{2}•$…•$\frac{n}{n-1}$=n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用疊乘法是關(guān)鍵．