Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$（n∈N^*），記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．求證：T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式即可得出；
（II）由b_n=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”與“放縮法”即可證明．

解答 （I）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（II）證明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$$＜\frac{1}{4}$．
∴${T}_{n}＜\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”與“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．