Question

2．若函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=1處有極小值，則常數(shù)c的值為1．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=（x-c）（3x-c），令其為0，分類(lèi)討論可得函數(shù)取極小值的情形，比較已知可得c的方程，解之可得．

解答 解：展開(kāi)可得f（x）=x（x-c）²=x³-2cx²+c²x，
求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=3x²-4cx+c²=（x-c）（3x-c）
令f′（x）=（x-c）（3x-c）=0可得x=c，或x=$\frac{c}{3}$，
當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)無(wú)極值，不合題意，
當(dāng)c＞0時(shí)，可得函數(shù)在（-∞，$\frac{c}{3}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{c}{3}$，c）單調(diào)遞減，在（c，+∞）單調(diào)遞增，
故函數(shù)在x=c處取到極小值，故c=1，符合題意；
當(dāng)c＜0時(shí)，可得函數(shù)在（-∞，c）單調(diào)遞增，在（c，$\frac{c}{3}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{c}{3}$，+∞）單調(diào)遞增，
故函數(shù)在x=$\frac{c}{3}$處取到極小值，故c=3，矛盾，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，涉及分類(lèi)討論的思想，屬中檔題．