Question

9．如果y=f（x）的定義域為R，對于定義域內(nèi)的任意x，存在實數(shù)a使得f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”．給出下列命題：
①函數(shù)y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”；
②若奇函數(shù)y=f（x）具有“P（2）性質(zhì)”，且f（1）=1，則f（2015）=1；
③若函數(shù)y=f（x）具有“P（4）性質(zhì)”，圖象關(guān)于點（1，0）成中心對稱，且在（-1，0）上單調(diào)遞減，則y=f（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增；
④若不恒為零的函數(shù)y=f（x）同時具有“P（0）性質(zhì)”和“P（3）性質(zhì)”，且函數(shù)y=g（x）對$?{x_1}，{x_2}∈[{-\frac{1}{2}，\frac{5}{2}}]$，都有|f（x₁）-f（x₂）|≥2成立，則?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|≥2成立．其中正確的是①③④（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

分析 ①運用誘導(dǎo)公式證明sin（x+π）=-sin（x）=sin（-x）；
②根據(jù)奇函數(shù)，周期性定義得出f（x+2）=f（-x）=-f（x），f（x+4）=f（x）；
③根據(jù)解析式得出f（x+4）=f（-x），f（x）關(guān)于x=2對稱，即f（2-x）=f（2+x），f（x）為偶函數(shù)，根題意得出圖象也關(guān)于點（-1，0）成中心對稱，
且在（-2，-1）上單調(diào)遞減，利用偶函數(shù)的對稱得出：在（1，2）上單調(diào)遞增；
④利用定義式對稱f（x）=f（-x），f（x+3）=f（-x）=f（x），推論得出f（x）為偶函數(shù)，且周期為3；

解答 解：①∵sin（x+π）=-sin（x）=sin（-x），
∴函數(shù)y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”；
∴①正確
②∵若奇函數(shù)y=f（x）具有“P（2）性質(zhì)”，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
周期為4，
∵f（1）=1，f（2015）=f（3）=-f（1）=-1，
∴②不正確，
③∵若函數(shù)y=f（x）具有“P（4）性質(zhì)”，
∴f（x+4）=f（-x），
∴f（x）關(guān)于x=2對稱，
即f（2-x）=f（2+x），
∵圖象關(guān)于點（1，0）成中心對稱，
∴f（2-x）=-f（x），
即f（2+x）=-f（-x），
∴得出：f（x）=f（-x），
f（x）為偶函數(shù)，
∵圖象關(guān)于點（1，0）成中心對稱，且在（-1，0）上單調(diào)遞減，
∴圖象也關(guān)于點（-1，0）成中心對稱，且在（-2，-1）上單調(diào)遞減，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱得出：在（1，2）上單調(diào)遞增；
故③正確．
④∵“P（0）性質(zhì)”和“P（3）性質(zhì)”，
∴f（x）=f（-x），f（x+3）=f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，且周期為3，
所以對$?{x_1}，{x_2}∈[{-\frac{1}{2}，\frac{5}{2}}]$，為一個周期，都有|f（x₁）-f（x₂）|≥2成立，
則則?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|≥2成立，故④正確．
故答案為：①③④

點評 本題考查了新概念的題目，函數(shù)的對稱周期性，主要運用抽象函數(shù)性質(zhì)判斷，難度較大，特別是第3個選項，仔細推證．