Question

1．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}={2^{5-n}}$，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=n+k，設(shè)${c_n}=\left\{\begin{array}{l}{b_n}，{a_n}≤{b_n}\\{a_n}，{a_n}＞{b_n}\end{array}\right.$，若在數(shù)列{c_n}中，c₅≤c_n對(duì)任意n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． -5≤k≤-4
• B． -4≤k≤-3
• C． -5≤k≤-3
• D． k=-4

Answer 1

分析 若c₅=a₅，則b₆≥a₅，a₅＞b₅，b₆≥a₅，由此推導(dǎo)出-5≤k＜-4；若c₅=b₅，則b₅≥a₅，b₅≥a₅，a₄≥b₅，由此推導(dǎo)出-5≤k≤-3．由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍

解答 解：若c₅=a₅，則a₅＞b₅，則前面不會(huì)有b_n的項(xiàng)，
∵{b_n}遞增，{a_n}遞減，∴b_i（i=1，2，3，4）＜b₅＜a₅＜a_i（i=1，2，3，4），
∵a_n遞減，∴當(dāng)n≥6時(shí)，必有c_n≠a_n，即c_n=b_n，
此時(shí)應(yīng)有b₆≥a₅，∴a₅＞b₅，即2⁰＞5+k，得k＜-4，
b₆≥a₅，即6+k≥1，得k≥-5，
∴-5≤k＜-4．
若c₅=b₅，則b₅≥a₅，同理，前面不能有b_n項(xiàng)，
即a₄≥b₅＞b₄，當(dāng)n≥6時(shí)，∵{b_n}遞增，{a_n}遞減，
∴b_n＞b₅≥a₅＞a_n（n≥6），
∴當(dāng)n≥6時(shí)，c_n=b_n．由b₅≥a₅，即5+k≥1，得，k≥-4，
由a₄≥b₅，得2≥5+k，得k≤-3，即-4≤k≤-3．
綜上得，-5≤k≤-3．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-5，-3]．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用