Question

18．利用單位圓寫(xiě)出符合下列條件的角x的取值范圍．
（1）cosx$＞\frac{1}{2}$；
（2）|cosx|$≤\frac{1}{2}$；
（3）sinx$≥\frac{1}{2}$且tanx≤-1．

Answer 1

分析 在單位圓中畫(huà)出三角函數(shù)線．
（1）由[0，2π）內(nèi)，cos$\frac{π}{3}$=cos$\frac{5π}{3}$=$\frac{1}{2}$，結(jié)合余弦線得cosx$＞\frac{1}{2}$的解集；
（2）由[0，2π）內(nèi)，cos$\frac{π}{3}$=cos$\frac{5π}{3}$=$\frac{1}{2}$，cos$\frac{2π}{3}$=cos$\frac{4π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合余弦線得$-\frac{1}{2}≤$cosα$≤\frac{1}{2}$的解集．
（3）由[0，2π）內(nèi)，sin$\frac{π}{6}$=sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{1}{2}$，tan$\frac{3π}{4}$=tan$\frac{7π}{4}$=-1，結(jié)合正切線、正弦線得sinx$≥\frac{1}{2}$且tanx≤-1．的解集．

解答 解：在單位圓內(nèi)作三角函數(shù)線如圖：
（1）在[0，2π）內(nèi)，cos$\frac{π}{3}$=cos$\frac{5π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
滿足cosx$＞\frac{1}{2}$的角的終邊在陰影部分內(nèi)（不含邊界），
∵cos$\frac{π}{3}$=cos（-$\frac{π}{3}$），
∴cosx$＞\frac{1}{2}$的解集為{α|-$\frac{π}{3}$+2kπ＜α＜$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z}；


（2）由|cosx|$≤\frac{1}{2}$；得$-\frac{1}{2}$≤cosx$≤\frac{1}{2}$；
∵在[0，2π）內(nèi)，cos$\frac{π}{3}$=cos$\frac{5π}{3}$=$\frac{1}{2}$，cos$\frac{2π}{3}$=cos$\frac{4π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
∴滿足$-\frac{1}{2}$≤cosx$≤\frac{1}{2}$的終邊在陰影部分內(nèi)，
∴$-\frac{1}{2}$≤cosx$≤\frac{1}{2}$的解集為{α|$\frac{π}{3}$+2kπ≤α≤$\frac{2π}{3}$，或$\frac{4π}{3}$+2kπ≤α≤$\frac{5π}{3}$+2kπ，k∈Z}．

（3）∵在[0，2π）內(nèi)，[0，2π）內(nèi)，sin$\frac{π}{6}$=sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{1}{2}$，tan$\frac{3π}{4}$=tan$\frac{7π}{4}$=-1，
滿足sinx$≥\frac{1}{2}$的集合為α|$\frac{π}{6}$+2kπ≤α≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z}．
滿足tanx≤-1的集合為α|-$\frac{π}{2}$+kπ＜α≤$-\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z}．
則同時(shí)滿足sinx$≥\frac{1}{2}$且tanx≤-1的解集為{α|-$\frac{π}{2}$+kπ＜α≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)線，考查了三角不等式的解法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于基本知識(shí)的考查．