Question

3．在△ABC中，A（-1，0），B（1，0），若△ABC的重心G和垂心H滿足GH平行于x軸（G．H不重合），
（I）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡Γ的方程；
（II）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線AC與以O(shè)為圓心，以|OH|為半徑的圓相切，求此時(shí)直線AC的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可設(shè)C（x，y），則G（$\frac{x}{3}，\frac{y}{3}$），H（x，$\frac{y}{3}$），求出$\overrightarrow{BH}$，$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，再由$\overrightarrow{BH}$•$\overrightarrow{AC}$=0整理得答案；
（Ⅱ）設(shè)方程AC為y=k（x+1），C（x₀，y₀）．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出H的坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)O到直線AC的距離，結(jié)合題意得到關(guān)于k的等式，求出k值后可得直線AC的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)C（x，y），則G（$\frac{x}{3}，\frac{y}{3}$），H（x，$\frac{y}{3}$）．
$\overrightarrow{BH}$=（x-1，$\frac{y}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（x+1，y），
∵H為垂心，∴$\overrightarrow{BH}•\overrightarrow{AC}$=x²-1+$\frac{{y}^{2}}{3}$=0，整理可得x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
即動(dòng)點(diǎn)C的軌跡Г的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x•y≠0）；                                              
（Ⅱ）顯然直線AC的斜率存在，設(shè)方程AC為y=k（x+1），C（x₀，y₀）．
將y=k（x+1）代入x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得（3+k²）x²+2k²x+k²-3=0，
解得x₀=$\frac{3-{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$，y₀=$\frac{6k}{3+{k}^{2}}$，則H（$\frac{3-{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$，$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$）．
原點(diǎn)O到直線AC的距離d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
依題意可得$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=\frac{9-2{k}^{2}+{k}^{4}}{9+6{k}^{2}+{k}^{4}}$，
即7k⁴+2k²-9=0，解得k²=1，即k=1或-1，
故所求直線AC的方程為y=x+1或y=-x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，訓(xùn)練了平面向量在求解軌跡方程中的應(yīng)用，屬中檔題．