Question

15．已知函數(shù)f（x）=alnx+x²f′（1）+${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx，且f′（2）=7，
（1）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）＞m對于x＞$\frac{1}{e}$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由定積分公式，求出${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx=1，再求出函數(shù)的導數(shù)，令x=1，2求出a=-2，再由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）分離參數(shù)，運用導數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值，進而得到最小值，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）由于${∫}_{1}^{e}$$\frac{1}{x}$dx=lnx|${\;}_{1}^{e}$=lne-ln1=1，
則f（x）=alnx+x²f′（1）+1，則f′（x）=$\frac{a}{x}$+2xf′（1），
則f′（1）=a+2f′（1），即有f′（1）=-a，
又f′（2）=$\frac{a}{2}$+4•（-a）=7，解得，a=-2，f′（1）=2．
則有f（x）=-2lnx+2x²+1．即有f′（x）=-$\frac{2}{x}$+4x，
即f′（1）=2，f（1）=3，
則曲線f（x）在x=1處的切線方程為：y-3=2（x-1），即2x-y+1=0；
（2）函數(shù)f（x）＞m對于x＞$\frac{1}{e}$恒成立，即為m＜f（x）在x＞$\frac{1}{e}$的最小值．
由于f′（x）=）=-$\frac{2}{x}$+4x，（x＞$\frac{1}{e}$），
當$\frac{1}{e}$＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f′（x）＜0，當x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f′（x）＞0，
則f（x）在x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取得極小值，也為最小值，
且為-2ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2×+1=2+ln2．
則有m＜2+ln2．
則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，2+ln2）

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間和極值和最值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值，考查定積分的運算，屬于中檔題