Question

16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且B=60°，c=4．
（Ⅰ）若b=6，求角C的余弦值；
（Ⅱ）若點(diǎn)D，E在線段BC上，且BD=DE=EC，$AE=2\sqrt{3}BD$，求AD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理求出sinC，從而能求出cosC．
（Ⅱ）由正弦定理求出∠BAE=30°，從而得到∠AEB=90°，BE=2，DE=1，由此能求出AD的長．

解答 （滿分12分）
解：（Ⅰ）∵由正弦定理得：$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}$------------------------------------------------（1分）
∵B=60°，c=4，b=6，∴$\frac{4}{sinC}=\frac{6}{{sin{{60}°}}}$，
∴$sinC=\frac{{4×sin{{60}°}}}{6}=\frac{{4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$------------------------------------------------------（4分）
∵b＞c∴∠B＞∠C∴∠C為銳角--------------------------------------------------------------（5分）
∴$cosC=\sqrt{1-{{sin}^2}C}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$------------------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）∵BD=DE=EC，$AE=2\sqrt{3}BD$，
∴$AE=\sqrt{3}BE$----------------------------------------------------------------------------------（8分）
在$△ABC中，\frac{AE}{sinB}=\frac{BE}{sin∠BAE}$，
∵B=60°，∴$sin∠BAE=\frac{BE•sinB}{AE}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}$，
∴∠BAE=30°或150°（不合題意，舍去）----------------------------------------（10分）
∴$∠AEB={90°}且BE=\sqrt{A{B^2}-A{E^2}}=\sqrt{{4^2}-（2\sqrt{3}{）^2}}=2$，
∴$DE=\frac{1}{2}BE=1$，
∴$AD=\sqrt{A{E^2}+D{E^2}}=\sqrt{（2\sqrt{3}{）^2}+{1^2}}=\sqrt{13}$．------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的余弦值的求法，考查線段長的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)恒等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．