Question

6．已知$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x+a，（a∈R）$
（1）若x∈R，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，f（x）的最大值為3，求a的值；
（3）在（2）的條件下，若方程f（x）=m在$[0，\frac{3π}{4}]$上恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 將f（x）整理成f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，
（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可；
（2）求出f（x）的最大值是3+a=3，求出a的值是0；
（3）將a=0代入，求出f（x）的表達(dá)式，求出特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的草圖，求出m的范圍即可．

解答 解：f（x）=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+a=2（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+1+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1
（1）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈z$
得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈z$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{\;}\right.kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}\left.{\;}]，k∈z$；
（2）$x=\frac{π}{6}$時(shí)，$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
函數(shù)f（x）有最大值3+a，
∴3+a=3，∴a=0；
（3）由（2）得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
列表得：

X	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{3}$
x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{5}$	$\frac{3π}{4}$
f（x）	2	3	1	-1	1-$\sqrt{3}$

結(jié)合函數(shù)f（x）在$[0，\frac{3π}{4}]$的草圖，
可得：$m∈（-1，1-\sqrt{3}]∪[2，3）$..

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．