Question

15．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線上的一點，若PF₁與雙曲線的一條漸近線平行，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（　　）

• A． $-\frac{35}{12}$
• B． $-\frac{11}{12}$
• C． $-\frac{7}{12}$
• D． $-\frac{1}{12}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，可得兩焦點的坐標和漸近線方程，可設(shè)PF₁與直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$平行，求得平行線的方程代入雙曲線的方程，求得P的坐標，再由向量的數(shù)量積的坐標表示，計算即可得到所求值．

解答 解：由雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}$=1的a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
得F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
漸近線為$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，
由對稱性，不妨設(shè)PF₁與直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$平行，
可得${l_{P{F_1}}}：y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+2}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{3}-{y^2}=1}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x+2}）}\end{array}}\right.$得$P（{-\frac{7}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{12}}）$，
即有$\overrightarrow{P{F_1}}=（{-\frac{1}{4}，-\frac{{\sqrt{3}}}{12}}）$，$\overrightarrow{P{F_2}}=（{\frac{15}{4}，-\frac{{\sqrt{3}}}{12}}）$，
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$+（-$\frac{\sqrt{3}}{12}$）²=-$\frac{11}{12}$．
故選B．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，注意運用雙曲線的漸近線方程和兩直線平行的條件，以及聯(lián)立直線和雙曲線求交點，考查運算能力，屬于中檔題．