Question

3．已知函數(shù)f（x）=ln（2x），函數(shù)g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$+af′（x），y=g（x）在x=1處的切線與直線y=-x-5平行．
（1）求a的值．
（2）求直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$與曲線y=g（x）所圍成的圖形的面積．
（3）若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）+2b在x∈（0，+∞）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得g（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得a=2；
（2）作出直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$與曲線y=g（x），由圖象觀察，可得所求圖形的面積為S=$\frac{1}{2}$×2×（3+$\frac{9}{2}$）-${∫}_{2}^{4}$（x+$\frac{2}{x}$）dx，運(yùn)用定積分計(jì)算即可得到所求值；
（3）由題意可得-2b=ln（2x）+x+$\frac{2}{x}$在x＞0有兩個(gè)不等的實(shí)根．設(shè)h（x）=ln（2x）+x+$\frac{2}{x}$（x＞0），求得導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值，即可得到b的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（2x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{2}{2x}$=$\frac{1}{x}$，
g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$+af′（x）=x+$\frac{a}{x}$，g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
由題意可得，y=g（x）在x=1處的切線斜率為1-a=-1，解得a=2；
（2）作出直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$與曲線y=g（x），由圖1可得，
在[2，4]上圍成一個(gè)圖形．交點(diǎn)為（2，3），（4，$\frac{9}{2}$），
則所求圖形的面積為S=$\frac{1}{2}$×2×（3+$\frac{9}{2}$）-${∫}_{2}^{4}$（x+$\frac{2}{x}$）dx
=$\frac{15}{2}$-（$\frac{1}{2}$x²+2lnx）|${\;}_{2}^{4}$=$\frac{15}{2}$-（8+2ln4-2-2ln2）=$\frac{3}{2}$-2ln2；
（3）由題意可得-2b=ln（2x）+x+$\frac{2}{x}$在x＞0有兩個(gè)不等的實(shí)根．
設(shè)h（x）=ln（2x）+x+$\frac{2}{x}$（x＞0），h′（x）=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．
即有x=1處取得極小值，且為最小值3+ln2，
由圖2，可得-2b＞3+2ln2時(shí)，y=-2b和y=h（x）有兩個(gè)交點(diǎn)．
解得b＜-$\frac{3+2ln2}{2}$．
則b的取值范圍是（-∞，-$\frac{3+2ln2}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查面積的求法，注意運(yùn)用定積分運(yùn)算，屬于中檔題．