Question

3．己知兩點A（-3，0）、B（3，0），動點M滿足直線AM、BM的斜率之積為-$\frac{4}{9}$．動點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若∠AMB為鈍角，求點M的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)斜率之積的關(guān)系建立方程進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．
（2）A，B是所求橢圓的兩個頂點，根據(jù)∠AMB為鈍角的等價條件進行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)點M（x，y），（x≠±3），則${k}_{AM}=\frac{y}{x+3}$，${k}_{BM}=\frac{y}{x-3}$，
由題意得$\frac{y}{x+3}$•$\frac{y}{x+3}$=-$\frac{4}{9}$，
即$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-9}$=-$\frac{4}{9}$，化為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，（x≠±3）．
∴曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，（x≠±3）；
（2）設(shè)M（x，y），∵A（-3，0）、B（3，0），
∴A，B是方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的兩個頂點，
當(dāng)M在$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上運動時，∠AMB是恒為鈍角，
此時-3＜x＜3，
即點M的橫坐標(biāo)的取值范圍是（-3，3）．

點評 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，根據(jù)條件求出曲線C的方程是解決本題的關(guān)鍵．