Question

已知函數(shù)f（x）=|log₃x|，正實數(shù)m，n滿足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在區(qū)間[m，n²]上的最大值為2，則m+n=（　�。�

• A、

  82

  9

• B、

  28

  9

• C、

  28

  3

• D、

  10

  3

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先結(jié)合函數(shù)f（x）=|log₃x|的圖象和性質(zhì)，再由f（m）=f（n），得到m，n的倒數(shù)關(guān)系，再由“若f（x）在區(qū)間[m，n²]上的最大值為2”，求得m、n的值，從而求得m+n的值．

解答： 解：∵f（x）=|log₃x|，正實數(shù)m，n滿足m＜n，且f（m）=f（n），∴-log₃m=log₃n，∴mn=1．
∵f（x）在區(qū)間[m，n²]上的最大值為2，函數(shù)f（x）在[m，1）上是減函數(shù)，在（1，n²]上是增函數(shù)，
∴-log₃m=2，或log₃n²=2．
若-log₃m=2，則m=3^-2=

1

9

，故n=9，n²=81，故f（x）在區(qū)間[m，n²]上的最大值為log₃81=4，不滿足條件．
若log₃n²=2，則n=3，m=

1

3

，由于|log₃m|=1＜2，故滿足f（x）在區(qū)間[m，n²]上的最大值為2，
綜合可得 m=

1

3

，n=3，故n+m=

10

3

，
故選：D．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是取絕對值后考查的特別多，解決的方法多數(shù)用數(shù)形結(jié)合法，屬于中檔題．