Question

如圖所示，連結(jié)棱長(zhǎng)為2cm的正方體各面的中心得一個(gè)多面體容器，從頂點(diǎn)A處向該容器內(nèi)注水，注滿為止．已知頂點(diǎn)B到水面的高度h以每秒1cm勻速上升，記該容器內(nèi)水的體積V（cm³）與時(shí)間T（S）的函數(shù)關(guān)系是V（t），則函數(shù)V（t）的導(dǎo)函數(shù)y=V′（t）的圖象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的解析式，再求導(dǎo)，觀察判斷即可．

解答： 解：方法一，正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體為正八面體，棱長(zhǎng)為a=

1

2

22+22

=

2

，高為2，
設(shè)時(shí)間為t時(shí)，當(dāng)t≤1時(shí)，此時(shí)水面的邊長(zhǎng)為b，

t

1

=

b

2

，則b=

2

t，則水面的面積為b²=2t²，該容器內(nèi)水的體積V（t）=

1

3

×2t²×t=

2

3

t³，
當(dāng)t＞1時(shí)，此時(shí)水面的邊長(zhǎng)為c，

2-t

1

=

c

2

，則c=

2

（2-t），則水面的面積為c²=2（2-t）²，
該容器內(nèi)水的體積V（t）=

1

3

×（

2

）²×2-

1

3

×2×（2-t）²×（2-t）=

4

3

-

2

3

×（2-t）³，
∴y=V′（t）=2t²，（t≤1），y=V′（t）=2（2-t）²，（1＜t≤2），
方法二，由題意得：V（cm³）與時(shí)間T（S）的函數(shù)關(guān)系是V（t），y=tv（t）是關(guān)于t的3次函數(shù)，
則y=v′（t）是關(guān)于t的2次函數(shù)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的圖象的識(shí)別問(wèn)題，關(guān)鍵是理解水的容積式關(guān)于的t的3次函數(shù)，屬于中檔題．