Question

7．已知（4$\root{4}{\frac{1}{x}}$+$\root{3}{{x}^{2}}$）ⁿ展開(kāi)式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為45．
（1）求n；
（2）求含有x³的項(xiàng)；
（3）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值．
（2）先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于03，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中含有x³的項(xiàng)．
（3）此展開(kāi)式共有11項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，再利用通項(xiàng)公式得出結(jié)論．

解答 解　（1）由已知得${C}_{n}^{n-2}$=45，即${C}_{n}^{2}$=45，
∴n²-n-90=0，解得n=-9（舍）或n=10．
（2）由通項(xiàng)公式得：T_k+1=${C}_{10}^{r}$•4^10-r•${x}^{\frac{11r}{12}-\frac{5}{2}}$，令$\frac{11r}{12}$-$\frac{5}{2}$=3，求得r=6，
∴含有x³的項(xiàng)是T₇=${C}_{10}^{6}$•4⁴•x³ =53 760x³．
（3）∵此展開(kāi)式共有11項(xiàng)，∴二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，
∴T₆=${C}_{10}^{5}$•4⁵•${x}^{\frac{25}{12}}$=258048•${x}^{\frac{25}{12}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．