Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，向量

pn

=（1+a_n+1，-3），

qn

=（1，a_n+1），n∈N^*，且

pn

⊥

qn

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由向量垂直得到數(shù)列遞推式
（1）直接把數(shù)列遞推式變形構(gòu)造等比數(shù)列求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）分組后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．

解答： 解：∵向量

pn

=（1+a_n+1，-3），

qn

=（1，a_n+1），n∈N^*，且

pn

⊥

qn

．
∴1+a_n+1-3a_n-3=0，即a_n+1=3a_n+2．
（1）由a_n+1=3a_n+2，得a_n+1+1=3（a_n+1），
∵a₁=1，
∴a₁+1=2≠0，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
∴an+1=2•3n-1，an=2•3n-1-1．
（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=(2•30+2•31+…+2•3n-1)-n
=2×

1×(1-3n)

1-3

-n=3ⁿ-n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用，考查了等比關(guān)系的確定，考查了構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．