Question

2．已知等腰三角形ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=5，|$\overrightarrow{BC}$|=6，點D為底邊上一動點，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$取最小值時，則|$\overrightarrow{DC}$|=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，O（0，0），A（0，4），C（3，0），D（x，0），（-3≤x≤3）．可得：$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$=（-x，4）•（3-x，0）=-x（3-x），利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最小值．

解答 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系
O（0，0），A（0，4），C（3，0），D（x，0），（-3≤x≤3）．
∴$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$=（-x，4）•（3-x，0）=-x（3-x）≥$-（\frac{x+3-x}{2}）^{2}$=-$\frac{9}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時取等號，
∴$\overrightarrow{DC}$=$（\frac{3}{2}，0）$．
則|$\overrightarrow{DC}$|=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．