Question

13．兩個向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=1，|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|=$\frac{1}{3}$，則（5$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-9$\overrightarrow$）的值為$\frac{80}{9}$．

Answer 1

分析 運用向量的數(shù)量積的性質，向量的平方即為模的平方，運用多項式的運算法則，化簡整理代入即可得到所求值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=1，|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|=$\frac{1}{3}$，
兩邊平方可得，$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4$\overrightarrow$²=1，①
4$\overrightarrow{a}$²+12$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+9$\overrightarrow$²=$\frac{1}{9}$，
即有$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4$\overrightarrow$²=36$\overrightarrow{a}$²+108$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+81$\overrightarrow$²，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{16}$（5$\overrightarrow{a}$²+11$\overrightarrow$²），
代入①可得$\overrightarrow{a}$²+3$\overrightarrow$²=$\frac{4}{9}$，
則（5$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-9$\overrightarrow$）=5$\overrightarrow{a}$²-48$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+27$\overrightarrow$²
=5$\overrightarrow{a}$²+27$\overrightarrow$²+15$\overrightarrow{a}$²+33$\overrightarrow$²
=20（$\overrightarrow{a}$²+3$\overrightarrow$²）
=$\frac{80}{9}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的性質，主要考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．