【題目】在中,,.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:
(1)證明:平面平面
(2)求平面與平面所成二面角的大小.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)45°
【解析】
(1)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,,從而即為二面角的平面角,,推導(dǎo)出,從而平面,則,即,進(jìn)而平面,推導(dǎo)四邊形為平行四邊形,從而,平面,由此即可得證.
(2)以B為原點(diǎn),在平面中過(guò)B作BE的垂線為x軸,BE為y軸,BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.
(1)∵是的中點(diǎn),∴.
設(shè)的中點(diǎn)為,連接.
設(shè)的中點(diǎn)為,連接,.
易證:,,
∴即為二面角的平面角.
∴,而為的中點(diǎn).
易知,∴為等邊三角形,∴.①
∵,,,∴平面.
而,∴平面,∴,即.②
由①②,,∴平面.
∵分別為的中點(diǎn).
∴四邊形為平行四邊形.
∴,平面,又平面.
∴平面平面.
(2)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè).
則,,,,
顯然平面的法向量,
設(shè)平面的法向量為,,,
∴,∴.
,
由圖形觀察可知,平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.
∴平面與平面所成的二面角大小為45°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系.xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為( 為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知曲線C2的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn),點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn),且A,B均異于原點(diǎn)O,且|AB|=4,求α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了提高學(xué)生的身體素質(zhì),某校高一、高二兩個(gè)年級(jí)共336名學(xué)生同時(shí)參與了“我運(yùn)動(dòng),我健康,我快樂(lè)”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動(dòng).為了了解學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況,采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取7名和5名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試.下表是高二年級(jí)的5名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)(單位:個(gè)/分鐘):
(1)求高一、高二兩個(gè)年級(jí)各有多少人?
(2)設(shè)某學(xué)生跳繩個(gè)/分鐘,踢毽個(gè)/分鐘.當(dāng),且時(shí),稱(chēng)該學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.
①?gòu)母叨昙?jí)的學(xué)生中任選一人,試估計(jì)該學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的概率;
②從高二年級(jí)抽出的上述5名學(xué)生中,隨機(jī)抽取3人,求抽取的3名學(xué)生中為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市政府為了引導(dǎo)居民合理用水,決定全面實(shí)施階梯水價(jià),居民用水原則上以住宅為單位(一套住宅為一戶(hù)).
階梯級(jí)別 | 第一階梯 | 第二階梯 | 第三階梯 |
月用水范圍(噸) |
為了了解全市居民月用水量的分布情況,通過(guò)抽樣,獲得了戶(hù)居民的月用水量(單位:噸),得到統(tǒng)計(jì)表如下:
居民用水戶(hù)編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
用水量(噸) | 7 | 8 | 8 | 9 | 10 | 11 | <>13 | 14 | 15 | 20 |
(1)若用水量不超過(guò)噸時(shí),按元/噸計(jì)算水費(fèi);若用水量超過(guò)噸且不超過(guò)噸時(shí),超過(guò)噸部分按元/噸計(jì)算水費(fèi);若用水量超過(guò)噸時(shí),超過(guò)噸部分按元/噸計(jì)算水費(fèi).試計(jì)算:若某居民用水噸,則應(yīng)交水費(fèi)多少元?
(2)現(xiàn)要在這戶(hù)家庭中任意選取戶(hù),求取到第二階梯水量的戶(hù)數(shù)的分布列與期望;
(3)用抽到的戶(hù)家庭作為樣本估計(jì)全市的居民用水情況,從全市依次隨機(jī)抽取戶(hù),若抽到戶(hù)月用水量為第一階梯的可能性最大,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)為橢圓右頂點(diǎn),過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(異于),直線,分別交直線于,兩點(diǎn). 求證:,兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知非零實(shí)數(shù),,不全相等,則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是( )
(1)如果,,成等差數(shù)列,則,,能構(gòu)成等差數(shù)列
(2)如果,,成等差數(shù)列,則,,不可能構(gòu)成等比數(shù)列
(3)如果,,成等比數(shù)列,則,,能構(gòu)成等比數(shù)列
(4)如果,,成等比數(shù)列,則,,不可能構(gòu)成等差數(shù)列
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對(duì)于任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在圓:上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在軸上的投影為,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線交于、兩點(diǎn),問(wèn):在軸上是否存在定點(diǎn)使得的值為定值?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo)及該定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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