Question

【題目】已知點(diǎn)在圓：上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上的投影為，動(dòng)點(diǎn)滿足．

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線交于、兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)使得的值為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)，使得的值為定值．

【解析】

（1）由，得，設(shè)，，，由向量等式可得，，代入圓：，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算的值為定值，通過化簡計(jì)算得出的值，從而說明定點(diǎn)的存在性．

（1）由，得，

設(shè)，，，

則，

∴，，

代入圓：，可得，即．

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

聯(lián)立，消去得，，

，，

假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)使得的值為定值，

而，，

為定值，

則，解得，

且此時(shí)．

因此，在軸上存在定點(diǎn)，使得的值為定值．