Question

=______

Answer 1

【答案】分析：[解法一]令x=2cosα，則f（x）==2sinα，α∈[0，π]．原積分可化為，利用積分公式化簡并求出原函數(shù)，再代入數(shù)據(jù)即可得到原式的值．
[解法二]作出函數(shù)y=的圖象，可得所求積分是函數(shù)圖象位于[0，1]的曲線在x軸投影所成的面積，利用含有30°角直角三角形的性質，結合扇形面積公式求出圖中陰影部分的面積，即可得到本題的積分值．
解答：解：[解法一]令x=2cosα，則f（x）==2sinα，α∈[0，π]
∴==
=2（sin2α-α+C）  （其中C為常數(shù)）
=2（sin-+C）-2（sinπ-+C）=+
[解法二]令y=，得函數(shù)的圖象是以原點為圓心，
半徑為2的圓的上半圓，
如圖所示，表示函數(shù)圖象位于[0，1]上的曲線在x軸投影所成的面積
∵Rt△OBC中，OC=1，OB=2
∴BC==，∠BOC=，得∠AOB=-=
∵S=S_△OBC+S_扇形AOB=×1×+×2×=+
故答案為：+
點評：本題通過求一個定積分的值，考查了定積分的公式與運算法則、定積分的幾何意義和三角函數(shù)的公式等知識，屬于基礎題．