Question

10．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0恒成立，則$\frac{f（x）}{x}＞0$的解集為（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 可設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，根據(jù)條件可以判斷g（x）為偶函數(shù)，并可得到x＞0時(shí)，g′（x）＜0，從而得出g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，并且g（2）=0，從而由g（x）＞g（2）便可得到|x|＜2，且x≠0，這樣即可得出原不等式的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，f（x）是R上的奇函數(shù)，∴g（x）為偶函數(shù)；
x＞0時(shí)，$g′（x）=\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}＜0$；
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，g（2）=0；
∴由g（x）＞0得，g（x）＞g（2）；
∴g（|x|）＞g（2）；
∴|x|＜2，且x≠0；
∴-2＜x＜0，或0＜x＜2；
∴$\frac{f（x）}{x}＞0$的解集為（-2，0）∪（0，2）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法，知道偶函數(shù)g（x）＞g（2）等價(jià)于g（|x|）＞g（2）．