Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n+1-a_n=n+1（n∈N^*），則{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前8項和為$\frac{16}{9}$．

Answer 1

分析 利用累加法推知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{n（1+n）}{2}$，則$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），由此求得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前8項和．

解答 解：因為a_n+1-a_n=n+1，
所以a₂-a₁=1+1，
a₃-a₂=2+1，
a₄-a₃=3+1，
…
a_n-a_n-1=（n-1）+1，
以上等式相加，得a_n-a₁=1+2+3+…+（n-1）+n-1，
把a₁=1代入上式得，a_n=1+2+3+…+（n-1）+n=$\frac{n（1+n）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$═$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項的和S_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前8項和為：$\frac{2×8}{8+1}$=$\frac{16}{9}$．
故答案是：$\frac{16}{9}$．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列的求和．注意累積法和裂項相消法的合理應(yīng)用．