Question

19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n，且S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為（　�。�

• A． 2^n-3
• B． 2^n-2
• C． 2^n-1
• D． 2^n-2+1

Answer 1

分析 先根據(jù)S_n，a_n，$\frac{1}{2}$成等差數(shù)列，得到2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，繼而得到2a_n-1=S_n-1+$\frac{1}{2}$，兩式相減，整理得：a_n=2a_n-1（n≥2），繼而得到數(shù)列{a_n}是$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，問(wèn)題得以解決．

解答 解：由題意知2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，
2a_n-1=S_n-1+$\frac{1}{2}$，
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），整理得：a_n=2a_n-1（n≥2）
當(dāng)n=1是，2a₁=S₁+$\frac{1}{2}$，即a₁=$\frac{1}{2}$
∴數(shù)列{a_n}是$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，成立，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的遞推公式，屬于基礎(chǔ)題．