Question

4．在△ABC中，已知邊a=2，b=2$\sqrt{3}$，且$\frac{a+b}{sinA+sinB}$=4，求邊c的長．

Answer 1

分析 由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{a+b}{sinA+sinB}$=4，由a=2、b=2$\sqrt{3}$求出sinA、sinB，根據邊角關系和特殊角的正弦值求出A、B，利用內角和定理求出C，即可求出邊c的值．

解答 解：由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{a+b}{sinA+sinB}$=4，
因為a=2，b=2$\sqrt{3}$，
所以sinA=$\frac{1}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又a＜b，則A=$\frac{π}{6}$，所以B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
當B=$\frac{π}{3}$時，C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=4；
當B=$\frac{2π}{3}$時，C=π-A-B=$\frac{π}{6}$，則c=a=2，
所以邊c的長是2或4．

點評 本題考查正弦定理，用內角和定理，以及邊角關系和特殊角的正弦值，熟練掌握定理是解題的關鍵．