Question

7．正四面體ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足為O，設(shè)M是線段AO上一點(diǎn)，且∠BMC=90°是直角，則$\frac{AM}{MO}$的值為1．

Answer 1

分析 設(shè)正四面體ABCD棱長(zhǎng)為1，MO=x，延長(zhǎng)BO，交CD于點(diǎn)N，可得BN⊥CD且N為CD中點(diǎn)，在Rt△BOM中，根據(jù)BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，建立關(guān)于x的方程并解之，得x=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，再結(jié)合正四面體的高AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得出MO=AM=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，從而得到所求的比值．

解答 解：延長(zhǎng)BO，交CD于點(diǎn)N，可得BN⊥CD且N為CD中點(diǎn)
設(shè)正四面體ABCD棱長(zhǎng)為1，得
等邊△ABC中，BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵AO⊥平面BCD，
∴O為等邊△BCD的中心，得BO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
Rt△ABO中，AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
設(shè)MO=x，則Rt△BOM中，BM=$\sqrt{\frac{1}{3}+{x}^{2}}$
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，即$\sqrt{\frac{1}{3}+{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解之得x=$\frac{\sqrt{6}}{6}$
由此可得AM=AO-MO=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴MO=AM=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，得$\frac{AM}{MO}$=1
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題給出正四面體ABCD高線上一點(diǎn)M，使得三角形BCM是等腰直角三角形，求M分高線的比值，著重考查了正四面體的性質(zhì)和線面垂直位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)等知識(shí)，屬于中檔題．