Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{kx+1}{{x}^{2}+c}$（c＞1，k∈R）恰有一個極大值點和一個極小值點，其中的一個極值點是x=-c．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的另一個極值點；
（Ⅱ）記函數(shù)f（x）的極大值為M、極小值為m，若M-m≥1，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過f′（x）=0，方程有兩個不等實根-c，x₀，然后求出極值點．
（Ⅱ）求出函數(shù)的極值點，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，利用函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)f（x）的極大值，極小值，然后求解c的值．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{{k（{x^2}+c）-2x（kx+1）}}{{{{（{x^2}+c）}^2}}}=\frac{{-k{x^2}-2x+kc}}{{{{（{x^2}+c）}^2}}}$，…（2分）
令f′（x）=0即-kx²-2x+ck=0，方程有兩個不等實根-c，x₀，
由根與系數(shù)的關(guān)系知${x_0}•（-c）=\frac{ck}{-k}$，得x₀=1，
即函數(shù)f（x）的另一極值點為x₀=1．  …（5分）
（Ⅱ）由f′（-c）=0得-kc²+2c+ck=0，
∵c＞1，∴$k=\frac{2}{c-1}＞0$，
當x＜-c或x＞1時，f′（x）＜0，當-c＜x＜1時，f′（x）＞0，…（7分）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-c）和（1，+∞）上單調(diào)遞減；在區(qū)間（-c，1）上是單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的極大值為M=f（1）=$\frac{k+1}{c+1}=\frac{1}{c-1}$，…（9分）
極小值為m=f（-c）=$\frac{-kc+1}{{c}^{2}+c}$=$-\frac{1}{c（c-1）}$，…（10分）
∵M-m=1，∴$\frac{1}{c-1}+\frac{1}{c（c-1）}=1$，
即c²-2c-1=0，又c＞1，得c=$\sqrt{2}+1$． …（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及單調(diào)區(qū)間的求法，考查計算能力．