Question

2．S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項和，若2S₄=S₂+2，則S₆的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由于2S₄=S₂+2，對q分類討論：q=1，則8a₁=2a₁+2，解得a₁，可得S₆=2．當q≠1時，可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$，代入S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$（1+q²+q⁴），變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵2S₄=S₂+2，
若q=1，則8a₁=2a₁+2，解得a₁=$\frac{1}{3}$．∴S₆=2．
當q≠1時，$2×\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$+2，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$，
則S₆=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{2}{2{q}^{2}+1}$（1+q²+q⁴）=$\frac{4{q}^{2}+2}{4}+\frac{3}{4{q}^{2}+2}$≥2$\sqrt{\frac{4{q}^{2}+2}{4}×\frac{3}{4{q}^{2}+2}}$=$\sqrt{3}$，當且僅當q²=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$時取等號．
綜上可得：S₆最小值為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．