Question

已知f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x+m，且f（

π

3

）=1
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),余弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）f（x）可化簡為f（x）=2+2cos(2x-

π

3

)+m，f（

π

3

）=1，直接可求解．
（2）由于2x-

π

3

∈[2kπ-π，2kπ]，可直接解得f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx+3cos2x+m
=2+cos2x+

3

sin2x+m
=2+2cos(2x-

π

3

)+m
又∵f(

π

3

)=1，
∴m=-2．
（2）由（1）知f（x）=2+2cos(2x-

π

3

)+m，
由于2x-

π

3

∈[2kπ-π，2kπ]得，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，
單調(diào)減區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．

點(diǎn)評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．