Question

7．已知圓M的極坐標(biāo)方程為$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，現(xiàn)以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)圓心M且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$交于A，B兩點(diǎn)，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）由${ρ}^{2}=\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）=ρsinθ+ρcosθ$，能求出圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求出過(guò)圓心M且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l的參數(shù)方程，代入橢圓方程，由此利用韋達(dá)定理能求出|MA|•|MB|的值．

解答 解：（1）∵$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∴${ρ}^{2}=\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）=ρsinθ+ρcosθ$，
得圓M的直角坐標(biāo)方程x²+y²=y+x，
∴圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．
（2）∵圓心M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
∴過(guò)圓心M且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
代入橢圓方程整理得：
${t}^{2}+\sqrt{2}t-\frac{5}{6}=0$，
故|MA|•|MB|=|t₁t₂|=$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查兩線段長(zhǎng)乘積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．