Question

19．橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（I）直線l：x=my+1與橢圓C交于不同的兩點P、Q，在x軸上存在定點N，使得x軸平分∠PNQ，求出點N的坐標．
（Ⅱ）設橢圓的左右頂點為A，B．過點N作直線l′交橢圓C于不同的兩點C，D，直線AD，BC交于點K．證明點K在一條定直線上．

Answer 1

分析 （I）設N（t，0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由于x軸平分∠PNQ，可得k_PN+k_QN=0．化為：2my₁y₂+（1-t）（y₁+y₂）=0．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（m²+2）y²+2my-1=0，把根與系數(shù)的關系代入化簡即可得出．
（II）A（-$\sqrt{2}$，0），B$（\sqrt{2}，0）$，N（2，0），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），設直線l′：ny+2=x．與橢圓方程聯(lián)立化為（n²+2）y²+4ny+2=0．直線AD的方程為：y-0=$\frac{{y}_{4}}{{x}_{4}+\sqrt{2}}$$（x+\sqrt{2}）$，直線BC的方程為：y-0=$\frac{{y}_{3}}{{x}_{3}-\sqrt{2}}$$（x-\sqrt{2}）$．聯(lián)立解得：x=$\frac{\sqrt{2}[2n{y}_{3}{y}_{4}+2（{y}_{3}+{y}_{4}）+\sqrt{2}（{y}_{3}-{y}_{4}）]}{\sqrt{2}（{y}_{3}+{y}_{4}）+2（{y}_{3}-{y}_{4}）}$，把根與系數(shù)的關系代入即可得出．

解答 （I）解：設N（t，0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵x軸平分∠PNQ，∴k_PN+k_QN=0．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，又x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
化為：2my₁y₂+（1-t）（y₁+y₂）=0．（*）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（m²+2）y²+2my-1=0，
△=4m²+4（m²+2）＞0．
∴y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+2}$．
代入（*）可得：m（t-2）=0，
由于m可以變化，∴t=2．
∴N（2，0）．
（II）證明：A（-$\sqrt{2}$，0），B$（\sqrt{2}，0）$，N（2，0），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
設直線l′：ny+2=x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ny+2=x}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為（n²+2）y²+4ny+2=0．
△=16n²-8（n²+2）＞0，化為：n²＞2．
∴y₃+y₄=$\frac{-4n}{{n}^{2}+2}$，y₃y₄=$\frac{2}{{n}^{2}+2}$．
直線AD的方程為：y-0=$\frac{{y}_{4}}{{x}_{4}+\sqrt{2}}$$（x+\sqrt{2}）$，
直線BC的方程為：y-0=$\frac{{y}_{3}}{{x}_{3}-\sqrt{2}}$$（x-\sqrt{2}）$．
聯(lián)立解得：x=$\frac{\sqrt{2}[2n{y}_{3}{y}_{4}+2（{y}_{3}+{y}_{4}）+\sqrt{2}（{y}_{3}-{y}_{4}）]}{\sqrt{2}（{y}_{3}+{y}_{4}）+2（{y}_{3}-{y}_{4}）}$，
∵2ny₃y₄+2（y₃+y₄）=$\frac{4n}{{n}^{2}+2}$-$\frac{8n}{{n}^{2}+2}$=$\frac{-4n}{{n}^{2}+2}$=y₃+y₄，
∴x=$\frac{\sqrt{2}[（{y}_{3}+{y}_{4}）+\sqrt{2}（{y}_{3}-{y}_{4}）]}{\sqrt{2}[（{y}_{3}+{y}_{4}）+\sqrt{2}（{y}_{3}-{y}_{4}）]}$=1，
∴點K在一條定直線x=1上．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．