Question

15．如果函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（m-2）x²+（n-8）x+1（m≥0，n≥0）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，求mn的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)結(jié)合一元二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)m=2時，f（x）=（n-8）x+1，若函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上單調(diào)遞減，
則n-8＜0，則0＜n＜8，此時mn＜16，
當(dāng)m≠2時，拋物線的對稱軸為x=-$\frac{n-8}{m-2}$．據(jù)題意，
當(dāng)m＞2時，-$\frac{n-8}{m-2}$≥2，即2m+n≤12．
∵$\sqrt{2m•n}$≤$\frac{2m+n}{2}$≤6，∴mn≤18．
由2m=n且2m+n=12得m=3，n=6．
當(dāng)m＜2時，拋物線開口向下，據(jù)題意得，-$\frac{n-8}{m-2}$≤$\frac{1}{2}$，即2m+n≤18．
∵$\sqrt{2m•n}$≤$\frac{2m+n}{2}$≤9，∴mn≤$\frac{81}{2}$，
由2n=m且m+2n=18得m=9＞2，故應(yīng)舍去．
要使得mn取得最大值，應(yīng)有m+2n=18，（m＜2，n＞8），
∴mn=（18-2n）n＜（18-2×8）×8=16，
故mn最大值為18．

點評 本題主要考查一元二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和對稱軸之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論．