Question

4．設(shè)集合A={x|x（x+4）=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，x∈R}，C={x|（x-3）（x-a）=0，a∈R}．
（1）若A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求A∪C和A∩C．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)A，根據(jù)A∩B=B，得B⊆A，然后分B為空集，單元素集合，雙元素集合討論求解a的取值范圍；
（2）對(duì)a分類(lèi)討論，即可求A∪C和A∩C．

解答 解：（1）A={-4，0}，
由A∩B=B，得B⊆A，
當(dāng)△=[2（a+1）]²-4（a²-1）＜0，即a＜-1時(shí)，B=∅，符合題意；
當(dāng)△=[2（a+1）]²-4（a²-1）≥0，即a≥-1時(shí)，
若a=-1，則B={0}，符合題意；
當(dāng)a＞-1時(shí)，由B⊆A，且A={-4，0}，
可知a+1=2，a=1．
∴滿足A∩B=B的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a=1或a≤-1．
（2）a=3時(shí)，C={3}，∴A∪C={-4，0，3}，A∩C=∅．
a=0時(shí)，C={3，0}，∴A∪C={-4，0，3}，A∩C={0}．
a=-4時(shí)，C={3，-4}，∴A∪C={-4，0，3}，A∩C={-4}．
a=3，0，-4時(shí)，C={3，a}，∴A∪C={-4，0，3，a}，A∩C=∅．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換、一元二次方程的解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類(lèi)討論思想、方程思想．屬于中檔題．