Question

2．某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球，根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù)，設一、二、三等獎如下：
獎級   摸出紅．藍球個數(shù)   獲獎金額
一等獎 3紅1藍            200元
二等獎 3紅0藍            50元
三等獎 2紅1藍            10元
其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級．
（Ⅰ）求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；
（Ⅱ）求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額X的分布列與期望E（X ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從7個小球中取3的取法為${C}_{7}^{3}$，若取一個紅球，則說明第一次取到一紅2白，根據(jù)組合知識可求取球的種數(shù)，然后代入古典概率計算公式可求
（Ⅱ）先判斷隨機變量X的所有可能取值為200，50，10，0根據(jù)題意求出隨機變量的各個取值的概率，即可求解分布列及期望值．

解答 解：設A_i表示摸到i個紅球，B_j表示摸到j個藍球，則A_i（i=0，1，2，3）與B_j（j=0，1）相互獨立．
（Ⅰ）恰好摸到1個紅球的概率為P（A₁）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{3}}=\frac{18}{35}$=．            …（4分）
（Ⅱ）X的所有可能值為：0，10，50，200，
P（X=200）=P（A₃B₁）=P（A₃）P（B₁）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}×\frac{1}{3}=\frac{1}{105}$，
P（X=50）=P（A₃B₀）=P（A₃）P（B₀）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}×\frac{2}{3}=\frac{2}{105}$，
P（X=10）=P（A₂B₁）=P（A₂）P（B₁）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{3}}×\frac{1}{3}=\frac{4}{35}$，
P（X=0）=1-$\frac{1}{105}-\frac{2}{105}-\frac{4}{35}=\frac{6}{7}$．                        …（11分）
所以X的分布列為

X	0	10	50	200
P	$\frac{6}{7}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{2}{105}$	$\frac{1}{105}$

所以X的數(shù)學期望E（X）=0×$\frac{6}{7}$+10×$\frac{4}{35}$+50×$\frac{2}{105}$+200×$\frac{1}{105}$=4．…（13分）

點評 本題主要考查了古典概型及計算公式，互斥事件、離散型隨機變量的分布列及期望值的求解，考查了運用概率知識解決實際問題的能力．