Question

17．如圖，在多面體ABCDEF中，BA⊥BE，BA⊥BC，BE⊥BC，AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1，G在線段AB上，且BG=3GA．
（1）求證：CG∥平面ADF；
（2）求直線DE與平面ADF所成的角的正弦值；
（3）求銳二面角B-DF-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）分別取AB、AF中點M、H，連接FM、GH、DH，證明：四邊形CDHG是平行四邊形，可得CG∥DH，利用線面平行的判定定理證明CG∥平面ADF；
（2）建立空間直角坐標系，求出$\overrightarrow{DE}$、平面ADF的一個法向量，利用向量的夾角公式求直線DE與平面ADF所成的角的正弦值；
（3）求出平面BDF的一個法向量，利用向量的夾角公式求銳二面角B-DF-A的余弦值．

解答 （1）證明：分別取AB、AF中點M、H，連接FM、GH、DH，則有AG=GM，MF∥BE，
∵AH=HF，∴GH∥$\frac{1}{2}$MF，
又∵CD∥$\frac{1}{2}$BE，BE∥MF，
∴CD∥GH，
∴四邊形CDHG是平行四邊形，
∴CG∥DH，
又∵CG?平面ADF，DH?平面ADF，
∴CG∥平面ADF；…（4分）
（2）解：如圖，以B為原點，分別以BC、BE、BA所直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系O-xyz，
則A（0，0，2），C（1，0，0），D（1，1，0），E（0，2，0），F(xiàn)（0，2，1），$\overrightarrow{DE}$=（-1，1，0），
$\overrightarrow{DA}$=（-1，-1，2），$\overrightarrow{FA}$=（0，-2，1）；
設平面ADF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則有
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DA}$=-x-y+2z=0且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{FA}$=（=-2y+z=0，
解得：x=3y，z=2y，
令y=1得：$\overrightarrow{n}$=（3，1，2），
設直線DE與平面ADF所成的角為θ，則有sinθ=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DE}|}$|=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
所以直線DE與平面ADF所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$ …（8分）
（3）解：由已知平面ADF的法向量$\overrightarrow{m}$=（3，1，2），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，1），
設平面BDF的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{BD}$=（1，1，0），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BF}$=2y+z=0且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BD}$=x+y=0   解得：z=-2y，x=-y；
令y=-1得：$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2），
設銳二面角B-DF-A的平面角為α，
則cosα=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{6}{\sqrt{14}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
所以銳二面角B-DF-A的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的判定，直線與平面所成的角，銳二面角B-DF-A的余弦值，考查學生分析解決問題的能力，正確求出平面的法向量是關鍵．