Question

15．對于任意實數x，記[x]表示不超過x的最大整數，{x}=x-[x]，＜x＞表示不小于x的最小整數，若x₁，x₂，…x_m（0≤x₁＜x₂＜…＜x_m≤n+1是區(qū)間[0，n+1]中滿足方程[x]•{x}•＜x＞=1的一切實數，則x₁+x₂+…+x_m的值是$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 根據新定義，[x]表示不超過x的最大整數，{x}=x-[x]，需要分類討論，根據條件得到x═a+$\frac{1}{a（a+1）}$，繼而求出a的可能值，最后代入計算即可．

解答 解：顯然，x不可能是整數，
否則由于{x}=0，方程[x]•{x}•＜x＞=1不可能成立．
設[x]=a，則{x}=x-a，x=a+1，
代入得a（x-a）（a+1）=1，
解得x=a+$\frac{1}{a（a+1）}$．
考慮到x∈[0，n+1]，且[x]≠0，所以a=1，2，3，4，5，…，n，
故符合條件的解有n個，即m=n，
則x₁+x₂+…+x_m=x₁+x₂+…+x_n=$\frac{n（n+1）}{2}$+1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了函數的值，需要分類進行討論，新定義一般需要認真讀題，理解題意，靈活利用已知定義，屬于中檔題．