Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{{（{x+1}）}^2}+{{（{sinx+cosx}）}^2}}}{{{x^2}+2}}$，其導函數(shù)記為f′（x），則f（2015）+f′（2015）+f（-2015）-f′（-2015）=2．

Answer 1

分析 先判斷出原函數(shù)和導函數(shù)的奇偶性，從而進行求值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{{{（{x+1}）}^2}+{{（{sinx+cosx}）}^2}}}{{{x^2}+2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x+1+1+sin2x}{{x}^{2}+2}$=1+$\frac{2x+sin2x}{{x}^{2}+2}$，
設g（x）=$\frac{2x+sin2x}{{x}^{2}+2}$，則g（z）=f（x）-1，
則g（-x）=-$\frac{2x+sin2x}{{x}^{2}+2}$=-g（x），
∴g（x）為奇函數(shù)，
即f（x）-1為奇函數(shù)
∴f′（x）=g′（x）=$\frac{2（1+cos2x）（{x}^{2}+2）-（2x+sin2x）•2x}{（{x}^{2}+2）^{2}}$
∴f′（x）為偶函數(shù)，
則f（-2015）-1=-[f（2015）-1]，即f（2015）+f（-2015）=2，
且f′（2015）-f′（2015）=0，從而f（2015）+f'（2015）+f（-2015）-f'（2015）=2，
故答案為：2．

點評 本題考查了導數(shù)的應用，考查了函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．