Question

15．已知圓C：x²+y²-4x+3=0，過原點(diǎn)的直線l與其交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求直線l斜率k的取值范圍；
（Ⅱ）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡Γ的方程；
（Ⅲ）若直線m：y=ax+4與曲線Γ只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l與其交于不同的兩點(diǎn)A，B，可得$\frac{{|{2k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜1$，即可求直線l斜率k的取值范圍；
（Ⅱ）利用CP⊥OP，即可求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡Γ的方程；
（Ⅲ）利用直線m：y=ax+4與曲線Γ只有一個(gè)公共點(diǎn)，分類討論，即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由x²+y²-4x+3=0得（x-2）²+y²=1
直線l過原點(diǎn)，可設(shè)其方程：y=kx
∵直線l與其交于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴$\frac{{|{2k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜1$，∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜k＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），
∵點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，曲線C是圓心為C（2，0），半徑r=1的圓，
∴CP⊥OP，
∴${k_{CP}}•{k_{OP}}=\frac{y-0}{x-2}•\frac{y}{x}=-1（x≠2且x≠0）$，化簡得x²+y²-2x=0．①
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-4x+3=0\\{x^2}+{y^2}-2x=0\end{array}\right.$得$x=\frac{3}{2}，y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
A，B是不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)（2，0）的坐標(biāo)滿足①
因此點(diǎn)P（x，y）滿足${x^2}+{y^2}-2x=0（\frac{3}{2}＜x≤2）$②
這是圓心為O₁（1，0），半徑為1的一段圓�。ú话�括端點(diǎn)${M_1}（\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），{M_2}（\frac{3}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$），
反之，可驗(yàn)證以方程②的解（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)P（x，y）是曲線Γ上的一個(gè)點(diǎn)，因此②是軌跡Γ的方程．
（Ⅲ）設(shè)直線m：y=ax+4過D（0，4）
設(shè)直線m與圓${O_1}：{x^2}+{y^2}-2x=0$相切于點(diǎn)M，則有$\frac{{|{a+4}|}}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=1$，解得$a=-\frac{15}{8}$
直線M₁D的斜率為${k_{{M_1}D}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}-4}}{{\frac{3}{2}-0}}=\frac{{\sqrt{3}-8}}{3}$
類似的可得${k_{{M_2}D}}=\frac{{-\sqrt{3}-8}}{3}$
綜上，若直線m與曲線Γ只有一個(gè)公共點(diǎn)，
則a的取值范圍是 $a=-\frac{15}{8}或\frac{{-\sqrt{3}-8}}{3}＜a≤\frac{{\sqrt{3}-8}}{3}$

點(diǎn)評 本題考查曲線與方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．