【題目】如圖,某廣場(chǎng)中間有一塊邊長(zhǎng)為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD,其中BMN是半徑為1百米的扇形,∠ABC= .管理部門(mén)欲在該地從M到D修建小路:在 上選一點(diǎn)P(異于M,N兩點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)P修建與BC平行的小路PQ.
(1)若∠PBC= ,求PQ的長(zhǎng)度;
(2)當(dāng)點(diǎn)P選擇在何處時(shí),才能使得修建的小路 與PQ及QD的總長(zhǎng)最小?并說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解.如圖示:
,
連接BP,過(guò)P作PP1⊥BC,垂足為P1,過(guò)Q作QQ1⊥BC垂足為Q1,
在Rt△PBP1中, ,PQ=1
(2)解.設(shè)∠PBP1=θ, ,
∴ ,
在Rt△QBQ1中, ,
∴總路徑長(zhǎng)f(θ)= ﹣θ+4﹣cosθ﹣ sinθ,(0<θ< ),
f′(θ)=sinθ﹣ cosθ﹣1=2sin(θ﹣ )﹣1,
令f'(θ)=0, ,
當(dāng) 時(shí),f'(θ)<0,
當(dāng) 時(shí),f'(θ)>0,
所以當(dāng) 時(shí),總路徑最短.
答:當(dāng)BP⊥BC時(shí),總路徑最短
【解析】(1)作出輔助線(xiàn),根據(jù)梯形的性質(zhì)求出PQ的長(zhǎng)即可;(2)設(shè)∠PBP1=θ,求出PQ的長(zhǎng),得到總路徑長(zhǎng)f(θ)的表達(dá)式,通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出去最小值時(shí)θ的值,即P點(diǎn)的位置即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C的圓心在直線(xiàn)x﹣2y﹣3=0上,并且經(jīng)過(guò)A(2,﹣3)和B(﹣2,﹣5),求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
(1)若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值;
(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角.
(1)證明:tan = ;
(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan +tan +tan +tan 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若f(x)=x﹣1﹣alnx,g(x)= ,a<0,且對(duì)任意x1 , x2∈[3,4](x1≠x2),|f(x1)﹣f(x2)|<| ﹣ |的恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線(xiàn)C:y2=2x﹣4.
(1)求曲線(xiàn)C在點(diǎn)A(3, )處的切線(xiàn)方程;
(2)過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A,B兩不同點(diǎn),求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)C1:x2=y,圓C2:x2+(y﹣4)2=1的圓心為點(diǎn)M
(1)求點(diǎn)M到拋物線(xiàn)C1的準(zhǔn)線(xiàn)的距離;
(2)已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線(xiàn),交拋物線(xiàn)C1于A,B兩點(diǎn),若過(guò)M,P兩點(diǎn)的直線(xiàn)l垂直于AB,求直線(xiàn)l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù).若對(duì)任意的n∈N* , 存在k∈N* , 使得an+k2=anan+2k成立,則稱(chēng)數(shù)列{an}為“Jk型”數(shù)列.
(1)若數(shù)列{an}是“J2型”數(shù)列,且a2=8,a8=1,求a2n;
(2)若數(shù)列{an}既是“J3型”數(shù)列,又是“J4型”數(shù)列,證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形,點(diǎn)、、、順次在邊、、、上,且.過(guò)點(diǎn)、、、分別作射線(xiàn)、、、,且,這里為定角,且,由此得到四邊形.
(1)問(wèn)四邊形是怎樣的四邊形?證明你的結(jié)論.
(2)設(shè),試將表示成的函數(shù).
(3)是否存在,使為與無(wú)關(guān)的定值?若存在,求出相應(yīng)的的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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