Question

20．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．
求證：
（1）直線PA∥平面DEF；
（2）PA⊥AB．

Answer 1

分析 （1）由D、E為PC、AC的中點，得出DE∥PA，從而得出PA∥平面DEF；
（2）要證平面BDE⊥平面ABC，只需證DE⊥平面ABC，即證DE⊥EF，且DE⊥AC即可，再由DE∥PA，能證明PA⊥AB．

解答 證明：（1）證明：∵D、E為PC、AC的中點，∴DE∥PA，
又∵PA?平面DEF，DE?平面DEF，
∴PA∥平面DEF．
（2）∵D、E為PC、AC的中點，∴DE=$\frac{1}{2}$PA=3，
又∵E、F為AC、AB的中點，∴EF=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DE²+EF²=DF²，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF，
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC，
∵DE∥PA，∴PA⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，∴PA⊥AB．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直問題，解題時應明確空間中的線線、線面、面面之間的垂直與平行的互相轉(zhuǎn)化關系，是中檔題．