Question

10．如圖，設(shè)A是棱長(zhǎng)為2的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)從頂點(diǎn)A出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，對(duì)正方體的所有頂點(diǎn)都如此操作，截去8個(gè)三棱錐，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個(gè)多面體，則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論：
①有24個(gè)頂點(diǎn)；②有36條棱；③有14個(gè)面；④表面積為12；⑤體積為$\frac{20}{3}$．
正確的有（　　）個(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 原來(lái)的六個(gè)面還在只不過(guò)是變成了一個(gè)小正方形，再添了八個(gè)頂點(diǎn)各對(duì)應(yīng)的一個(gè)三角形的面，由此能求出面的個(gè)數(shù)；每個(gè)正方形4條邊，每個(gè)三角形3條邊，考慮到每條邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)面，由此能求出棱的條數(shù)；所有的頂點(diǎn)都出現(xiàn)在原來(lái)正方體的棱的中點(diǎn)位置，原來(lái)的棱的數(shù)目是12，所以現(xiàn)在的頂點(diǎn)的數(shù)目是12，由此能求出頂點(diǎn)數(shù)；三角形和四邊形的邊長(zhǎng)都是$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，由此求出正方形總面積、三角形總面積，從而能求出表面積；體積為原正方形體積減去8個(gè)三棱錐體積，由此能求出剩余總體積．

解答 解：如圖，原來(lái)的六個(gè)面還在只不過(guò)是變成了一個(gè)小正方形，
再添了八個(gè)頂點(diǎn)各對(duì)應(yīng)的一個(gè)三角形的面，
所以總計(jì)6+8=14個(gè)面，故③正確；
每個(gè)正方形4條邊，每個(gè)三角形3條邊，4×6+3×8=48，
考慮到每條邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)面，所以實(shí)際只有$\frac{1}{2}×$48=24條棱．故②錯(cuò)誤；
所有的頂點(diǎn)都出現(xiàn)在原來(lái)正方體的棱的中點(diǎn)位置，
原來(lái)的棱的數(shù)目是12，所以現(xiàn)在的頂點(diǎn)的數(shù)目是12．
或者從圖片上可以看出每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)4條棱，每條棱很明顯對(duì)應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)，
所以頂點(diǎn)數(shù)是棱數(shù)的一半即12個(gè)．故①錯(cuò)誤；
三角形和四邊形的邊長(zhǎng)都是$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
所以正方形總面積為6×$\frac{1}{2}$a²=3a²，三角形總面積為8×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$a²sin60°=$\sqrt{3}$a²，
表面積（3+$\sqrt{3}$）a²，故④錯(cuò)；
體積為原正方形體積減去8個(gè)三棱錐體積，每個(gè)三棱錐體積為8×$\frac{1}{6}$（$\frac{a}{2}$）³=$\frac{1}{6}$a³，剩余總體積為a³-$\frac{1}{6}$a³=$\frac{5}{6}$a³．⑤正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查多面體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、棱的條數(shù)、面的個(gè)數(shù)、表面積和體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．