Question

10．如圖，設(shè)A是棱長為2的正方體的一個頂點，過從頂點A出發(fā)的三條棱的中點作截面，對正方體的所有頂點都如此操作，截去8個三棱錐，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個多面體，則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論：
①有24個頂點；②有36條棱；③有14個面；④表面積為12；⑤體積為$\frac{20}{3}$．
正確的有（　�。﹤�．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 原來的六個面還在只不過是變成了一個小正方形，再添了八個頂點各對應(yīng)的一個三角形的面，由此能求出面的個數(shù)；每個正方形4條邊，每個三角形3條邊，考慮到每條邊對應(yīng)兩個面，由此能求出棱的條數(shù)；所有的頂點都出現(xiàn)在原來正方體的棱的中點位置，原來的棱的數(shù)目是12，所以現(xiàn)在的頂點的數(shù)目是12，由此能求出頂點數(shù)；三角形和四邊形的邊長都是$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，由此求出正方形總面積、三角形總面積，從而能求出表面積；體積為原正方形體積減去8個三棱錐體積，由此能求出剩余總體積．

解答 解：如圖，原來的六個面還在只不過是變成了一個小正方形，
再添了八個頂點各對應(yīng)的一個三角形的面，
所以總計6+8=14個面，故③正確；
每個正方形4條邊，每個三角形3條邊，4×6+3×8=48，
考慮到每條邊對應(yīng)兩個面，所以實際只有$\frac{1}{2}×$48=24條棱．故②錯誤；
所有的頂點都出現(xiàn)在原來正方體的棱的中點位置，
原來的棱的數(shù)目是12，所以現(xiàn)在的頂點的數(shù)目是12．
或者從圖片上可以看出每個頂點對應(yīng)4條棱，每條棱很明顯對應(yīng)兩個頂點，
所以頂點數(shù)是棱數(shù)的一半即12個．故①錯誤；
三角形和四邊形的邊長都是$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
所以正方形總面積為6×$\frac{1}{2}$a²=3a²，三角形總面積為8×$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$a²sin60°=$\sqrt{3}$a²，
表面積（3+$\sqrt{3}$）a²，故④錯；
體積為原正方形體積減去8個三棱錐體積，每個三棱錐體積為8×$\frac{1}{6}$（$\frac{a}{2}$）³=$\frac{1}{6}$a³，剩余總體積為a³-$\frac{1}{6}$a³=$\frac{5}{6}$a³．⑤正確．
故選：B．

點評 本題考查多面體的頂點個數(shù)、棱的條數(shù)、面的個數(shù)、表面積和體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．