Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R），則下面的結(jié)論：
①該函數(shù)是奇函數(shù)；      ②該函數(shù)值域?yàn)椋?1，1）；
③任取x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0； ④f（x）=x有三個(gè)根．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為①②③．

Answer 1

分析 由奇偶性的定義來(lái)判斷①，由分類討論結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性求解②；由②結(jié)合①對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同說(shuō)明③正確；由數(shù)形結(jié)合來(lái)說(shuō)明④不正確．

解答 解：①f（-x）=$\frac{-x}{1+|-x|}$=-f（x），∴函數(shù)是奇函數(shù)，正確
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$∈（0，1）
由①知當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）∈（-1，0），x=0時(shí)，f（x）=0
∴f（x）∈（-1，1）正確；
③則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$反比例函數(shù)的單調(diào)性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，正確
④由③知f（x）的圖象與y=x只有（0，0）這一個(gè)交點(diǎn)．不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域，單調(diào)性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個(gè)問題在研究時(shí)往往是同時(shí)考慮的．