Question

已知函數f（x）=ax+lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意的x＞1，f（x）＜ax²恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）確定函數的定義域為（0，+∞），再求導f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

；由導數的正負討論函數的單調區(qū)間；
（Ⅱ）化f（x）＜ax²為ax²-ax-lnx＞0，即化為a＞

lnx

x2-x

，令F（x）=

lnx

x2-x

，利用導數討論函數的單調性，再由極限求之．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx的定義域為（0，+∞），
f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

；
①當a≥0時，f′（x）＞0；
故函數f（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞）；
②當a＜0時，x∈（0，-

1

a

）時，f′（x）＞0，
x∈（-

1

a

，+∞）時，f′（x）＜0；
故函數f（x）的單調增區(qū)間為（0，-

1

a

），
單調減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）；
（Ⅱ）f（x）＜ax²可化為ax²-ax-lnx＞0，
可化為a＞

lnx

x2-x

令F（x）=

lnx

x2-x

，
F′（x）=

1 x (x2-x)-(2x-1)lnx

(x2-x)2

=

x-1-2xlnx+lnx

(x2-x)2

；
令G（x）=x+lnx-2xlnx-1，
則G′（x）=1+

1

x

-2lnx-2x

1

x

=

1

x

-2lnx-1；
G″（x）=-

1

x2

-2

1

x

=-

1+2x

x2

；
∵x＞1，故G″（x）＜0，
故G′（x）＜G′（1）=0，
故G（x）＜G（1）=1-1=0，
故F′（x）＜0；
故F（x）=

lnx

x2-x

在（1，+∞）上是減函數，
而

lim

x→1

F（x）=

lim

x→1

lnx

x2-x

=

lim

x→1

1 x

2x-1

=

lim

x→1

1

x(2x-1)

=1；
故a≥1．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了恒成立問題及二階求導問題，屬于難題．