Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{{{a^2}-1}}{2}$x²-a²x+a，x∈R，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)恰有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=-1，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記F（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)F（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在[0，2]內(nèi)的極值點，求得極小值為g（1），由$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（2）≥0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$求解不等式組得到a的取值范圍；
（2）把a(bǔ)=-1代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)期間，然后對t的范圍分類討論，求出函數(shù)F（t）在區(qū)間[-3，-1]上的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值$\frac{4}{3}$．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{{{a^2}-1}}{2}$x²-a²x+a，x∈R，a∈R，得
f′（x）=x²+（a²-1）x-a²x，由f′（x）=0，得x=-a²或x=1，
當(dāng)x∈[0，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，2]時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴在x∈[0，2]上f（x）有極小值，為f（1），
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)恰有兩個零點，則$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（2）≥0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{\frac{8}{3}+2（{a}^{2}-1）-2{a}^{2}+a≥0}\\{\frac{1}{3}+\frac{{a}^{2}-1}{2}-{a}^{2}+a＜0}\end{array}\right.$，解得：$0≤a＜1-\frac{\sqrt{6}}{3}$或$a＞1+\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴使函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]內(nèi)恰有兩個零點的實數(shù)a的取值范圍是$[0，1-\frac{\sqrt{6}}{3}）∪（1+\frac{\sqrt{6}}{3}，+∞）$；
（2）當(dāng)a=-1時，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-x+1$，f′（x）=x²-1，
由f′（x）=0，得x=±1．
當(dāng)x∈（-∞，-1），（1，+∞）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，1）時f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上為增函數(shù)，在（-1，1）上為減函數(shù)．
若t+3≤-1或t≥1，即t≤-4或t≥1時，f（x）在[t，t+3]上為增函數(shù)，M（t）=f（t+3）=$\frac{1}{3}（t+3）^{3}-（t+3）+1$，
m（t）=f（t）=$\frac{1}{3}{t}^{3}-t+1$，F(xiàn)（t）=M（t）-m（t）=3t²+9t+6；
若$\left\{\begin{array}{l}{t＜-1}\\{-1＜t+3≤1}\end{array}\right.$，即-4＜t≤-2時，M（t）=f（-1）=$\frac{5}{3}$，
m（t）=min{f（t），f（t+3）}=f（t）=$\frac{1}{3}{t}^{3}-t+1$，
F（t）=$\frac{5}{3}-\frac{1}{3}{t}^{3}+t-1=-\frac{1}{3}{t}^{3}+t+\frac{2}{3}$；
若$\left\{\begin{array}{l}{t+3＞1}\\{-1≤t＜1}\end{array}\right.$，即-1≤t＜1時，m（t）=f（1）=$\frac{1}{3}$，
M（t）=max{f（t），f（t+3）}=f（t+3）=$\frac{1}{3}（t+3）^{3}-（t+3）+1$，
F（t）=$\frac{1}{3}（t+3）^{3}-（t+3）+1$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}{t}^{3}+3{t}^{2}+8t+\frac{20}{3}$；
若$\left\{\begin{array}{l}{t≤-1}\\{t+3≥1}\end{array}\right.$，即-2≤t≤-1時，M（t）=f（-1）=$\frac{5}{3}$，
m（t）=f（1）=$\frac{1}{3}$，F(xiàn)（t）=$\frac{5}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$．
∴$F（t）=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{t}^{3}+t+\frac{2}{3}，-3≤t≤-2}\\{\frac{4}{3}，-2≤t≤-1}\end{array}\right.$．
F′（t）=-t²+1在x∈[-3，-2]上小于0，
F（t）=$-\frac{1}{3}{t}^{3}+t+\frac{2}{3}$在[-3，-2]上為減函數(shù)，
$F（t）_{min}=\frac{4}{3}$，$F（t）_{max}=\frac{20}{3}$．
∴函數(shù)F（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，正確的分類是解答該題的關(guān)鍵，屬難度較大的題目．