Question

9．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，且$\overrightarrow{DQ}$=λ$\overrightarrow{DC}$（λ∈R）．
（Ⅰ）試用$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{AP}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{DC}$=4時(shí)，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平面向量的基本定理即可用$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{AP}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{DC}$=4時(shí)，利用向量數(shù)量積的公式建立方程關(guān)系即可求λ的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$．
（Ⅱ）在矩形ABCD中AD⊥DC，
則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$=0，
∵$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{DC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DQ}$）•$\overrightarrow{DC}$=（$\overrightarrow{AD}$+λ$\overrightarrow{DC}$）•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$+λ•$\overrightarrow{DC}$²=16λ=4，
∴λ=$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量基本定理的應(yīng)用以及向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．