Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處的極值為10．
（1）求a，b的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+2m=0在[0，2]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出檢驗(yàn)即可；
（2）求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=f（x）和y=-2m的圖象在[0，2]有交點(diǎn)，根據(jù)f（x）的范圍，得到關(guān)于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
若f（x）在x=1處的極值為10，
則$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=0}\\{1+a+b{+a}^{2}=10}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
經(jīng)檢驗(yàn)，a=4，b=-11；
（2）由（1）f（x）=x³+4x²-11x+16，
f′（x）=3x²+8x-11=（3x+11）（x-1），
若關(guān)于x的方程f（x）+2m=0在[0，2]上有解，
則y=f（x）和y=-2m的圖象在[0，2]有交點(diǎn)，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在[0，1）遞減，在（1，2]遞增，
故f（x）_min=f（1）=10，而f（0）=16，f（2）=18，
故x∈[0，2]時(shí)，f（x）∈[10，18]，
故10≤-2m≤18，解得：m∈[-9，-5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．